درس شیرین ریاضی

الف: مجموعه عددهای صحیح

عدد صحیح:(integer)

صحیح به معنی تندرست، سالم و درست می باشد و هر یک از اعداد 0 , 1± , 2± , ... را یک عدد صحیح       می نامیم. مجموعه ی اعداد صحیح را با حرف که از کلمه آلمانی Zahlen به معنی «عدد صحیح» گرفته شده است، نمایش می دهند. این مجموعه عبارت است از:

{ ... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} =

نمایش مجموعه عددهای صحیح:

برای معرفی یک مجموعه روشهای مختلفی وجود دارد. اگر اعضای مجموعه مشخص باشند، اعضای مجموعه را می نویسیم مانند: مجموعه کتابهای درسی سال سوم دوره راهنمایی تحصیلی گاهی اوقات لازم است به جای نوشتن اعضای یک مجموعه ، خاصیت اعضاء آن را بیان کنیم. به عنوان مثال فرض کنید معاون پرورشی یک مدرسه خطاب به دانش آموزان آن مدرسه می گوید:

دانش آموزانی که در نوبت اول معدل آن ها بیشتر از 18 باشد ، به اردوی علمی ، تفریحی در شهر اصفهان خواهند رفت. در این جا اعضای مجموعه فعلا مشخص نیستند ، بلکه ویژگی و خاصیت اعضای مجموعه که معدل بالای 18 می باشد در آینده ای نزدیک اعضای مجموعه رامشخص خواهد کرد.

اکنون مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- را در نظر بگیرید و به معرفی این مجموعه در حالتهای مختلف توجه کنید:

الف) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- روی محور اعداد صحیح:

ب) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- به زبان ریاضی:

ج) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- با نوشتن اعضای آن مجموعه:

{ 2 , 1 , 0 , 1- , 2- }=A

مثال: مجموعه های زیر با علائم ریاضی بیان شده اند. آن ها را با اعضاء مشخص کنید:

الف):

حل:  مجموعه A بیان می کند : « x بطوریکه x به اعداد صحیح تعلق دارد و مربع آن برابر عدد یک است.» . پس از خواندن این جمله باید اعدادی را که واجد این خاصیت هستند، پیدا کنیم. بدیهی است که عددهای صحیح 1+ و 1- این خاصیت را دارند بنابراین :

{ 1- و 1+} =A

ب):

حل: گاهی اوقات به جای به کاربردن متغیر ، عبارتی جبری شامل متغیر بکار می رود.

(2^x) نماینده اعضای این مجموعه است که بیان می کند x  به اعداد طبیعی تعلق دارد. بنابراین:

{ ... و 16 و 8 و 4 و 2}=B

جمع عددهای صحیح:

الف) جمع با توجه به بردار:

مثال: جمع متناظر با بردار را بنویسید.

حل:

( عدد انتهای بردار) = (طول بردار)+ ( عدد ابتدای بردار)

 ( 3+ )  =     ( 5+ )   +   ( 2- )

ب) جمع بدون توجه به بردار: برای نوشتن حاصل جمعه به صورت زیر عمل می کنیم:

1. ابتدا تا حد امکان مختصر نویسی می کنیم.

2. اگر عددها هم علمت باشند، جمع می کنیم و اگر مختلف العلامت باشند، کم می کنیم.

3. علامت جواب بدست آمده را مشخص می کنیم.

مثال: 7=5-12=(5-)+(12+)

یادآوری: چنانچه بخواهیم از قرینه یابی استفاده کنیم به صورت زیر عمل می کنیم:

11-=(4+7)-=(4-)+(7-)

5-=(10-15)-=(10+)+(15-)

4-=(8-12)-=(12-)+(8+)

تفریق عددهای صحیح:

الف) تفریق با استفاده از بردار:

مثال:  تفریق متناظر با بردار را بنویسید.

حل: (عدد ابتدای بردار) = ( طول بردار) - ( عدد انتهای بردار)

                           ( 3- ) = ( 4+ ) - ( 1+ )

ب) تفریق اعداد صحیح بدون توجه به بردار:

 برای تفریق کردن عدد b از عدد a ، می توانیم قرینه b را با a جمع کنیم: یعنی:

a-b = a+(-b)

مثال:

22=7+15=(7+)+(15+)=(7-)-(15+)